segunda-feira, 14 de setembro de 2009

segunda-feira, 31 de agosto de 2009

A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

A história da matemática
A história da matemática conta a evolução da matemática e investiga as origens das descobertas matemáticas, assim como dos métodos matemáticos e das notações antigas.
A história da matemática começa com a Idade Antiga.
Introdução

Papiro de Rhind do Antigo Egipto, cerca de 1.650 a.C.
Ficheiro:Babylonische-rechentafel-aus-uruk-300vuZ.png
Cálculos em predra, Babilônia, cerca de 300 a.C..
Matemática é uma ciência que foi criada a fim de contar e resolver problemas com uma razão de existirem. Teorias das mais complexas contadas pelos matemáticos mais extraordinários sobrevoaram a mente humana de como a Matemática foi criada.
Essa ciência difícil e com complexidades pós o conhecimento humano foi criada a partir dos primeiros seres racionais há milhões de anos dos Homo Sapiens. Ela foi criada com o intuito de inventar uma lei sobre todas as quais ela é soberana e determina o possível e o impossível com uma questão de lógica. Essa lógica serviu para os primeiros raciocínios, desde trocas à vendas, de que nossos ancestrais necessitavam.
Até mesmo hoje, ela supera todas as ciências em necessidade humana, chegando até a superar a necessidade de se comunicar por meio de um idioma compreensível de tal região.
A Matemática foi, é, e será uma grande necessidade humana. Nossos ancestrais também necessitavam de conhecimento dentre os quais poderiam se comunicar, comerciar e trocar. Desde aí, os princípios básicos do início da Matemática foram se aperfeiçoando.
Poucos milênios a.C. a inteligência humana se desenvolveu mais, e a necessidade de uma ciência complicada para resolver desde os mais simples problemas até grandes vendas também.
Os grandes matemáticos surgiram antes de Cristo e depois de Cristo, inventando novas fórmulas, soluções e cálculos.
A inteligência do homem era algo tão magnífico, que a Matemática evoluiu mais rápido do que as próprias conclusões e provas matemáticas do homem.
Adição, subtração, multiplicação, divisão, raiz quadrada, potência, frações, razões, eqüações, ineqüações, termos, leis, conjuntos, etc, todos esses princípios e centenas de milhares de outros estavam dentro da ciência complexa, difícil, explicável e lógica que se chamava Matemática. Antigos acreditavam que a soma de duas unidades de algo, somado a mais outras duas unidades de algo, daria quatro. Comprovado pela matemática de sumérios, Os primeiros grandes astrônomos e filósofos deram o essencial a essa complexidade. Vários povos se destacaram, como os egípcios, sumérios, babilônios e gregos. Grandes mentes surgiram e inventaram outros princípios mais complexos e mais difíceis.

OS GRANDES FILÓSOFOS MATEMÁTICOS...


Biografias / George Boole



George Boole nasceu em 1815 e morreu em 1864. Matemático Britânico, nasceu em Lincoln a 2 de Novembro de 1815. Era filho de um sapateiro, não tendo assim condições financeiras para obter um grau elevado em termos de educação. Mas a sua determinação levaria a que ultrapassa-se esse obstáculo. Enquanto criança estudou na Escola Primária Lincoln, e depois numa Escola Comercial.



George Boole de inicio interessou-se por línguas, tendo aulas particulares de Latim com um Livreiro local. Aos doze anos de idade já conseguia traduzir um Poema Lírico em Latim, do poeta Horácio, demonstrando assim enormes capacidades. Aos 16 anos já era Professor Assistente, quatro anos mais tarde acabaria por fundar a sua própria Escola isto em 1835. Já a algum tempo que Boole estudava matemática sozinho, embora já seu Pai o tivesse estimulado quando era novo ao dar-lhe um ensaio de construção de Instrumentos Ópticos. Trabalhos de Laplace e Lagrange, eram alvo do estudo de Boole, através de notas que retirava. Recebeu encorajamento de Duncan Gregory, Editor de um Jornal Matemático, para estudar em Cambrige. Contudo não abandonaria seus Pais, que necessitavam dos seus cuidados. Em 1844, lançou um trabalho sobre, a Aplicação de métodos Algébricos, para a solução de Equações Diferenciais, recebendo uma medalha de Ouro da Royal Society.



A Analise Matemática da Lógica foi outro dos trabalhos publicados em 1847, que divulgou assim as ideias que tinha da Lógica Simbólica, assim a Lógica, apresentada por Aristóteles, poderá ser apresentada por Equações Algébricas. Boole disse inclusive. "Nós não necessitamos mais de associar Lógica e Metafísica, mas sim Lógica e Matemática".



Boole tornou-se rapidamente conhecido, e o seu trabalho e ideias reconhecidos por todos os Matemáticos Britânicos e não só. 1840 foi o ano em que foi eleito para ocupar o lugar de Professor principal de Matemática na Irlanda, em Queen´s College em Cork. E seria ali, que Boole iria permanecer para o resto da vida. Uma investigação sobre as Leis do Pensamento, seria em 1854 a sua nova publicação, onde estão cimentadas as Teorias da Lógica e das Probabilidades. Ele conseguiu aquilo que é conhecido como Álgebra de Boole, pois abordou a Lógica, de forma a reduzi-la a uma Álgebra simples, inserindo Lógica em Matemática. Boole casou em 1855, com Mary Everest.



Em 1857 foi eleito membro da Royal Society, e recebeu Honras e reconhecimento das Universidades de Dublin e Oxford. Um trabalho sobre Equações Diferenciais em 1859, e em 1860 sobre cálculo de diferenças finitas, e outro sobre Métodos Gerais nas Probabilidades, foram alvo da investigação de Boole. Publicou muitos trabalhos, e foi o primeiro a investigar a propriedade básica dos números, tal como a Propriedade Distributiva. Do seu casamento, com Mary Everest teve cinco filhas. Boole viria a falecer em 1864, com apenas 49 anos de idade vitima de Pneumonia. Hoje em dia a Álgebra de Boole, é aplicada na construção dos Computadores, sendo assim uma das razões fundamentais da revolução que os computadores estão a ter no mundo de hoje, aplica-se igualmente à pesquisa de Inteligência Artificial e na ligação dos telefones, entre muitas outras aplicações.



Boole foi e continua a ser considerado pelos colegas de profissão, e por todos aqueles que se dedicam à matemática, como tendo sido um homem genial. A lei especial da Lógica de Boole diz que x em relação a y = x. Para isso ser verdade, x = 1 ou x = 0. Sendo assim, a Lógica de Boole tem de utilizar um sistema Binário.









Biografias / Bhaskara





Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica (tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.

Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.

Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.

Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são:

Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:

Chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de:

y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções, qualquer que seja o valor de a

a famosa equação de Pell => x2 = N y2 + 1 (Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador).

Mas, e a fórmula de Bhaskara ?

EXEMPLO: para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra: "multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso."

É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.

Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara.

Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau

Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:

No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos.

Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:

Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis.

Texto extraído de Informações do site da UFRGS e da coleção Aprendendo Física, Editora Scipione, 1996.





Biografias / Albert Einstein





Albert Einstein nasceu numa sexta-feira, dia 14 de março de 1879, em Ulm, uma próspera cidade ao sul da Alemanha.

Ele foi o primeiro e único filho homem de Hermman Einstein e Pauline Koch.

Já nos primeiros anos de sua vida, Einstein provocava comentários. Sua mãe estava convencida de que o formato de sua cabeça era fora do comum e temia que tivesse algum problema mental, porque era muito lento para aprender a falar. Passou sua juventude em Munique, onde sua família possuía uma pequena oficina destinada à construção de máquinas elétricas. Einstein não falou até os 3 anos de idade, mas desde jovem mostrou uma curiosidade brilhante sobre a Natureza, e uma habilidade para compreender conceitos matemáticos avançados.

Com 12 anos de idade, aprendeu por conta própria a Geometria Euclideana.

Albert cresceu forte e saudável, embora não gostasse de praticar esportes organizados. Era um garoto quieto e particularmente solitário, que preferia ler e ouvir música. Não gostava do regime monótono e do espírito sem imaginação da escola em Munique. Se considerasse os conselhos de um de seus professores teria abandonado a escola.

Quando sua família mudou-se para Milão, na Itália, Einstein tinha 15 anos. Nesta ocasião passou 1 ano com sua família em Milão. Terminou a escola secundária em Arrau, Suíça, e com boas notas somente em Matemática, entrou, em 1896, no Instituto Politécnico de Zurique, onde se graduou em 1901 com dificuldades.

Einstein não gostava dos métodos de instrução lá. Freqüentemente não assistia às aulas, usando o tempo para estudar Física ou tocar seu adorado violino. Passou nos exames e graduou-se em 1900. Seus professores não o tinham como grande aluno e não o recomendariam para uma posição na Universidade. Por dois anos Einstein trabalhou como tutor e professor substituto. Em 1902, assegurou uma posição como examinador no Escritório de Patentes da Suíça em Bern.

Em 1903, casou-se com Mileva Maric, que havia sido sua colega na Escola Politécnica.

Em 1905, após ter conseguido um emprego no serviço federal de patentes que o deixava com horas vagas para estudar os problemas da física contemporânea, o mundo tomou conhecimento de sua existência através da publicação de cinco artigos nos Annalen der Physik, revista científica alemã. No mesmo ano recebeu seu grau de Doutor pela Universidade de Zurique por uma dissertação teórica a respeito das dimensões de moléculas, e também publicou 3 trabalhos teóricos de grande importância para o desenvolvimento da Física do século 20. No primeiro desses trabalhos, sobre o Movimento Browniano, ele realizou previsões significantes sobre o movimento de partículas distribuídas aleatoriamente em um fluido. Tais previsões seriam confirmadas posteriormente, através de experiências.

O segundo Trabalho, sobre o Efeito Fotoelétrico, continha uma hipótese revolucionária a respeito da natureza da luz. Einstein não somente propôs que sob certas circunstâncias pode-se considerar a luz feita de partículas, mas também a hipótese que a energia carregada por qualquer partícula de luz, chamada de fóton, é proporcional à freqüência da radiação. Uma década mais tarde, o Físico americano Robert Andrews Millikan confirmou experimentalmente a teoria de Einstein.

Einstein, cuja preocupação primordial é compreender a natureza da radiação eletromagnética, desenvolveu posteriormente uma teoria que seria uma fusão dos modelos de partícula e onda para a luz. Novamente, poucos cientistas compreendiam ou aceitavam suas idéias.

A Teoria da Relatividade Especial - O terceiro grande Trabalho de Einstein em 1905, "Sobre a Eletrodinâmica dos Corposem Movimento", continha o que tornou-se conhecido como a Teoria Especial da Relatividade. Desde a época do Matemático e Físico inglês Isaac Newton, os filósofos naturais (como os físicos e químicos eram conhecidos) tentavam compreender a natureza da matéria e da radiação e como elas interagiam. Não existia uma explicação consistente para o modo como a radiação (a luz, por exemplo) e a matéria interagiam quando vistas de referenciais inerciais diferentes, isto é, uma interação vista simultaneamente por um observador em repouso e um observador movendo-se com velocidade constante.

No Outono de 1905, após considerar estes problemas por 10 anos, Einstein percebeu que o problema não se encontrava em uma teoria da matéria, mas em uma teoria relativa às medidas. Einstein desenvolveu, então, uma teoria baseada em dois postulados: o Princípio da Relatividade, que as leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais, e o Princípio da Invariância da velocidade da luz, onde a velocidade da luz no vácuo é uma constante universal. Assim, Einstein era capaz de dar uma descrição correta e consistente de eventos físicos em referenciais inerciais diferentes sem fazer suposições especiais sobre a natureza da matéria e da radiação, ou como elas interagiam. Virtualmente, ninguém compreendeu seus argumentos.

Einstein e a Teoria da Relatividade Geral - Mesmo antes de deixar o Escritório de Patentes em 1907, começara o trabalho de extender e generalizar o teoria da relatividade para todos os referenciais. Ele iniciou enunciando o Princípio da Equivalência, um postulado que campos gravitacionais são equivalentes à acelerações de referênciais. Por exemplo, uma pessoa em um elevador em movimento não pode, em princípio, decidir se a força que atua sobre ela é causada pela gravidade ou pela aceleração constante do elevador.

A Teoria da Relatividade Geral completa não foi publicada até 1916. Nesta teoria, as interações de corpos que até então haviam sido atribuídas às forças gravitacionais, são explicadas como a influência dos corpos sobre a geometria do espaço-tempo (espaço quadridimensional, uma abstração matemática, tendo as três dimensões do espaço Euclideano e o tempo como a quarta dimensão).

Baseado em sua Teoria da Relatividade Geral, Einstein explicou as previamente inexplicáveis variações no movimento orbital dos planetas, e previu a inclinação da luz de estrelas na vizinhança de um corpo maciço, como o Sol. A confirmação deste último fenômeno durante um eclipse em 1919 tornou-se um grande evento, tornando Einstein famoso no mundo inteiro. Pelo resto de sua vida, Einstein devotou tempo considerável para generalizar ainda mais esta Teoria.

Seu último esforço, a Teoria do Campo Unificado, que não foi inteiramente um sucesso, foi uma tentativa de compreender todas as interações físicas - incluíndo as interações eletromagnéticas e as interações forte e fraca - em termos da modificação da geometria do espaço-tempo entre as entidades interagentes.

Entre 1915 e 1930 a grande preocupação da Física estava no desenvolvimento de uma nova concepção do caráter fundamental da matéria, conhecida como Teoria Quântica. Esta teoria continha a característica da dualidade partícula-onda (a luz exibe propriedades de partícula, assim como de onda), assim como o Princípio da Incerteza, que estabelece que a precisão nos processos de medidas é limitada. Einstein, entretanto, não aceitaria tais noções e criticou seu desenvolvimento até o final da sua vida. Disse Einstein uma vez: "Deus não joga dados com o mundo".

Durante a I Guerra Mundial, com cidadania suíça, ele trabalhou na generalização de sua teoria para os sistemas acelerados. Elaborou então, uma nova teoria da gravitação em que a clássica teoria de Newton assume papel particular. Einstein, com o passar dos anos, continua a não aceitar completamente diversas teorias. Por exemplo, Einstein não aceitava o princípio de Heisenberg que o universo estivesse abandonado ao acaso. "Deus pode ser perspicaz, mas não é malicioso.", disse ele sobre este princípio que destruía o determinismo que estava ancorada a ciência desde a Grécia Antiga.

O Nobel - Einstein, o Cidadão do Mundo. Após 1919, Einstein tornou-se internacionalmente reconhecido. Ganhou o Prêmio Nobel de Física em 1921 pelo seu estudo do campo fotoelétrico, e não pela teoria da relatividade, ainda controvertida. Sua visita a qualquer parte do mundo tornava-se um evento nacional; fotógrafos e repórteres o seguiam em qualquer lugar.

O Homem Político - Einstein aceitou uma cátedra no Institute for Advance Study, em Princeton, Estados Unidos e, em 1940, adquiriu cidadania americana após o surgimento da II Guerra Mundial, em 1939. Einstein sempre assumiu posições públicas sobre os grandes problemas de sua época, fosse a respeito da existência do Estado de Israel, da União Soviética, da luta contra o nazismo, ou, após a II Guerra Mundial, contra a fabricação de armas nucleares. Einstein entregou uma carta ao presidente americano advertindo-o da possibilidade de os alemães fabricarem sua própria bomba, no entanto, a carta levou os EUA a fabricarem a sua. Num último apelo, Einstein escreveu ao presidente Theodore Roosevelt, que morreu sem ao menos ler a carta. Truman, seu sucessor, ignorou-a e lançou a bomba atômica em Hiroshima e, três dias depois, em Nagasaki, no Japão. Em 1922, Einstein tornou-se membro do Comitê de Cooperação Intelectual da Liga das Nações. Em 1925, juntamente com o líder dos direitos civis indianos Mahatma Gandhi, trabalhou numa campanha pela abolição do serviço militar obrigatório. E, em 1930, Einstein colocou novamente seu nome em outro importante manifesto internacional, desta vez organizado pela Liga Internacional da Mulher pela Paz e Liberdade. Pedia o desarmamento internacional como sendo a melhor maneira de assegurar uma contínua paz. Envolveu-se ainda em várias causas sociais.

Em 1925, Albert Einstein veio ao Brasil. Esteve no Rio de Janeiro, em visita a instituições científicas e culturais. Proferiu duas conferências: na Academia Brasileira de Ciências e no Instituto de Engenharia do Rio de Janeiro.

Quando Adolf Hitler começou seu governo na Alemanha, Einstein decidiu deixar a Alemanha imediatamente. Foi para os Estados Unidos e ocupou uma posição no Instituto para Estudos Avançados em Princeton, New Jersey.

Quando a morte de Einstein foi anunciada em 1955, a notícia apareceu nas primeiras páginas dos jornais de todo o mundo: "Morreu um dos maiores homens do século 20".

Texto extraído da coleção Aprendendo Física, Editora Scipione, 1996.
Abel esperava obter um posto de professor em alguma Universidade e por isso deixou suas memórias com Cauchy para que fossem examinadas mas este logo as perdeu e ficaram esquecidas.

Devido á falta de recursos morreu aos 26 anos, de tuberculose, deixando profundos e importantes resultados em Álgebra e Teoria dos Números.

Dois dias após sua morte chegou finalmente a carta informando que havia sido nomeado professor na Universidade de Berlim.

Em 183Q, Cauchy achou os manuscritos de Abel que foram publicados em 1841 pelo I instituto Francês e que Legendre classificou como "um monumento mais durável que o bronze", contendo importantes generalizações sobre funções elíticas.

Niels H . Abel ( 1802 - 1829)

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Gelson Iezzi

Atual Editora

Biografias / Abel



Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da pequena aldeia de Fíndo, na Noruega.

Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáticas, inclusive as "Disquísítiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conseguiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências racionais.

Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto à família, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática.

Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle.

Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de mostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigo escreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. Acabei um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy não se dignou a olhá-lo".

Abel esperava obter um posto de professor em alguma Universidade e por isso deixou suas memórias com Cauchy para que fossem examinadas mas este logo as perdeu e ficaram esquecidas.

Devido á falta de recursos morreu aos 26 anos, de tuberculose, deixando profundos e importantes resultados em Álgebra e Teoria dos Números.

Dois dias após sua morte chegou finalmente a carta informando que havia sido nomeado professor na Universidade de Berlim.

Em 183Q, Cauchy achou os manuscritos de Abel que foram publicados em 1841 pelo I instituto Francês e que Legendre classificou como "um monumento mais durável que o bronze", contendo importantes generalizações sobre funções elíticas.

Niels H . Abel ( 1802 - 1829)

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Gelson Iezzi

Atual Editora

Biografias / Abel



Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da pequena aldeia de Fíndo, na Noruega.

Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáticas, inclusive as "Disquísítiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conseguiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências racionais.

Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto à família, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática.

Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle.

Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de mostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigo escreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. Acabei um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy não se dignou a olhá-lo".

Abel esperava obter um posto de professor em alguma Universidade e por isso deixou suas memórias com Cauchy para que fossem examinadas mas este logo as perdeu e ficaram esquecidas.

Devido á falta de recursos morreu aos 26 anos, de tuberculose, deixando profundos e importantes resultados em Álgebra e Teoria dos Números.

Dois dias após sua morte chegou finalmente a carta informando que havia sido nomeado professor na Universidade de Berlim.

Em 183Q, Cauchy achou os manuscritos de Abel que foram publicados em 1841 pelo I instituto Francês e que Legendre classificou como "um monumento mais durável que o bronze", contendo importantes generalizações sobre funções elíticas.

Niels H . Abel ( 1802 - 1829)

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Gelson Iezzi

Atual Editora



Biografias / Abel



Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da pequena aldeia de Fíndo, na Noruega.

Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáticas, inclusive as "Disquísítiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conseguiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências racionais.

Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto à família, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática.

Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle.

Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de mostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigo escreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. Acabei um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy não se dignou a olhá-lo".

Abel esperava obter um posto de professor em alguma Universidade e por isso deixou suas memórias com Cauchy para que fossem examinadas mas este logo as perdeu e ficaram esquecidas.

Devido á falta de recursos morreu aos 26 anos, de tuberculose, deixando profundos e importantes resultados em Álgebra e Teoria dos Números.

Dois dias após sua morte chegou finalmente a carta informando que havia sido nomeado professor na Universidade de Berlim.

Em 183Q, Cauchy achou os manuscritos de Abel que foram publicados em 1841 pelo I instituto Francês e que Legendre classificou como "um monumento mais durável que o bronze", contendo importantes generalizações sobre funções elíticas.

Niels H . Abel ( 1802 - 1829)

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Gelson Iezzi

Atual Editora









Biografias / Ampère





Matemático e físico francês (1775 - 1836)

A vida de André Marie Ampère foi marcada por um grande brilho no campo dos conhecimentos. Aos 12 anos, já estava familiarizado com Matemática avançada. Ele viveria, contudo, grandes dissabores familiares: com 18 anos, no período da Revolução Francesa, seu pai foi guilhotinado durante uma sublevação na cidade de Lyon; com menos de 30 anos, perdeu a esposa, com quem estava casado havia pouco tempo.

Foi professor de Física e Química, tornando-se depois professor de Matemática em Paris.>

Em 1820, o dinamarquês Oesterd apresentou nessa cidade, na Academia Francesa de Ciências, sua descoberta: uma agulha imantada sofria desvio na vizinhança de um condutor metálico percorrido por corrente elétrica. Isso provocou enorme interesse entre os pesquisadores franceses, que se apressaram a investigar mais sobre o assunto.

Um dos mais entusiasmados nessa tarefa era Ampère. De fato, apenas uma semana após aquela apresentação ele já conseguia representar, de maneira prática, o fenômeno do desvio da agulha. É o que hoje conecemos como regra de mão direita.

Até então, os fenômenos magnéticos só podiam ser observados com auxílio de materiais magnetizados, como ímãs ou limalha de ferro. Ampère, porém, descobriu outra maneira de mostrar a atração ou repulsão provocada por um fio percorrido por corrente. Para tanto, instalou outro fio eletrificado paralelamente ao primeiro. Quando a corrente percorria ambos no mesmo sentido, eles se atraíam, repelindo-se caso o sentido de uma delas fosse invertido.

Ele também pesquisou o magnetismo provocado por uma corrente que percorre um fio disposto em círculo. Concluiu teoricamente que, se o fio estivesse enrolado em espiral, o resultado seria o mesmo produzido por uma barra imantada.

Podemos dizer que suas experiências abriram um novo terreno no estudo dos fenômenos elétricos: o da eletricidade em movimento, ou Eletrodinâmica. Seu trabalho é importante porque não se compõe apenas de descobertas e experimentos, mas porque ali os fenômenos elétricos e magnéticos são também descritos matematicamente.

Em 1823, Ampère chegou a afirmar que as propriedades de um ímã eram causadas por corrente elétricas diminutas, que circulavam em seu interior. Isso ocorreu mais de setenta anos antes que se conhecessem as partículas elétricas que se movimentam nos átomos, as quais, de fato, são responsáveis pelos campos magnéticos.

Texto extraído da coleção Aprendendo Física, Editora Scipione, 1996.



Biografias / Aristóteles





Filósofo grego (384 a.C. - 322 a.C.)

Nascido no reino da Macedônia (norte da Grécia), Aristóteles mudou-se para Atenas aos 17 anos, onde estudou sob a orientação de um dos mais famosos filósofos de todos os tempos: Platão.

A escola dirigida por Platão denominava-se Academia, e Aristóteles nela permaneceu por cerca de vinte anos. Com a morte do mestre, preferiu deixá-la, dizendo-se insatisfeito com a pouca importância que ali vinha sendo dada ao estudo da natureza.

Viajou então por várias parte do mundo grego, que na época era bem mais vasto do que hoje, alcançando, entre outras regiões, o sul da Itália e a Ásia Menor. Foi nesta última região que Aristóteles se fixou por alguns anos. Ali ele se casou e pôde se dedicar a seus estudos preferidos, até ser chamado de volta à sua terra natal. O novo rei da Macedônia queria que ele cuidasse da educação do seu filho mais velho, tarefa que Aristóteles desempenhou por muitos anos. Só deixou a Macedônia quando seu aluno já tinha sido aclamado rei. Futuramente, ele passaria à história como Alexandre, o Grande, devido a suas conquistas territoriais, que incluiriam não só a própria Atenas, mas também a Pérsia.

Retornando a Atenas, Aristóteles criou sua própria escola, chamada Liceu, além de organizar uma biblioteca de manuscritos.

Quando Alexandre morreu, Aristóteles achou mais prudente deixar a cidade. Temia uma reação dos macedônios contra ele, pois chegou a ser acusado de ofensa religiosa, o que poderia levá-lo a ser condenado à morte (tal como já ocorrera com o ateniense Sócrates meio século antes). Vivendo numa ilha do Mar Egeu, morreria apenas um ano mais tarde.

Os escritos de Aristóteles perfazem grande número de volumes (consta que 150, aproximadamente) e versam sobre assuntos variados: da ciência, política e ética à crítica literária. Desses trabalhos, cerca de dois terços desapareceram. Mesmo os que chegaram até nós ficaram perdidos por séculos, por vezes em mais de uma ocasião. Muitos deles só atravessariam a Idade Média traduzidos para o árabe.

Em seus estudos da natureza, Aritóteles dedicou especial atenção aos seres vivos. Chegou a fazer dissecções em algumas dezenas de espécies animais, classificando cerca de 500 delas de acordo com suas semelhanças e diferenças. Foi o primeiro a considerar que o golfinho não era um peixe, pois possuía placenta, como os mamíferos terrestres. Tal descoberta, porém, seria negada nos séculos seguintes.

Seus critérios de classificação, embora fossem-como era de se esperar-diferentes dos nossos, levaram-no a concluir que haveria na natureza uma hierarquia determinada por modificação nos seres vivos. Só Charles Darwin, em pleno século XIX, voltaria a trabalhar com uma idéia, vigente em sua época, de que tudo na natureza se compunha de quatro elementos - ar, água, fogo, e terra -, mas a eles acrescentou um quinto elemento - o éter -, que formaria o espaço celeste. Concordou também com a idéia dos discípulos de Pitágoras de que a Terra e o céu seriam regidos por diferentes conjuntos de leis, pelas quais a Terra seria mutável e o lugar "natural": a terra ficaria embaixo; sobre ela viria a água, depois o ar e por último, o fogo, que ficaria acima de todos esses elementos. Por causa dessa ordem "natural", uma pedra (composta principalmente pelo elemento terra) lançada no ar afundaria na água, uma bolha de ar subiria num líquido e o fogo procuraria sempre alcançar o ponto mais alto possível. Isso levou Aristóteles a concluir que, quanto mais pesado um objeto, mais rápido ele desceria e, portanto, os corpos pesados cairiam mais rapidamente que os leves (somente 2000 anos depois Stevin, Galileu e Pascal provariam que essa idéia era falsa).

Para Aristóteles, suas conclusões eram verdadeiras, porque se podia chegar a elas através da argumentação lógica. Apesar de todas as observações que fez, ele considerava que a discussão produzia conclusões mais verdadeiras que os fatos constatados através de experimentos.

De fato, Aristóteles pode ser considerado o criador do estudo da Lógica e seu livro Organon, que trata desse tema, foi o único, dentre toda a sua obra, a continuar sendo estudado na Europa após a queda do Império Romano. Os séculos seguintes não só esqueceriam as contribuições de Aristóteles ao conhecimento da natureza como também viriam a utilizar o que restou de seu trabalho para argumentar contra idéias e descobertas que as novas mentes procurariam divulgar.

Texto extraído da coleção Aprendendo Física, Editora Scipione, 1996.



Biografias / Henry Briggs



Henry Briggs foi um matemático inglês, nasceu em fevereiro de 1561, e morreu em 26 de janeiro de1630.



Foi o homem mais responsável pela aceitação dos LOGARITMOS pelos cientistas. Briggs foi educado na Universidade de Cambridge e foi o primeiro professor de geometria na Faculdade de Gresham, Londres.



Em 1619 ele foi designado o professor de geometria em Oxford.



Briggs publicou trabalhos em navegação, astronomia, e matemática. Ele propôs os logaritmos "comuns", com base dez, e construiu uma tabela de logaritmos que foi usada até o século 19.

Biografias / Henry Briggs



Henry Briggs foi um matemático inglês, nasceu em fevereiro de 1561, e morreu em 26 de janeiro de1630.



Foi o homem mais responsável pela aceitação dos LOGARITMOS pelos cientistas. Briggs foi educado na Universidade de Cambridge e foi o primeiro professor de geometria na Faculdade de Gresham, Londres.



Em 1619 ele foi designado o professor de geometria em Oxford.



Briggs publicou trabalhos em navegação, astronomia, e matemática. Ele propôs os logaritmos "comuns", com base dez, e construiu uma tabela de logaritmos que foi usada até o século 19.

Biografias / Henry Briggs



Henry Briggs foi um matemático inglês, nasceu em fevereiro de 1561, e morreu em 26 de janeiro de1630.



Foi o homem mais responsável pela aceitação dos LOGARITMOS pelos cientistas. Briggs foi educado na Universidade de Cambridge e foi o primeiro professor de geometria na Faculdade de Gresham, Londres.



Em 1619 ele foi designado o professor de geometria em Oxford.



Briggs publicou trabalhos em navegação, astronomia, e matemática. Ele propôs os logaritmos "comuns", com base dez, e construiu uma tabela de logaritmos que foi usada até o século 19.

Biografias / Henry Briggs



Henry Briggs foi um matemático inglês, nasceu em fevereiro de 1561, e morreu em 26 de janeiro de1630.



Foi o homem mais responsável pela aceitação dos LOGARITMOS pelos cientistas. Briggs foi educado na Universidade de Cambridge e foi o primeiro professor de geometria na Faculdade de Gresham, Londres.



Em 1619 ele foi designado o professor de geometria em Oxford.



Briggs publicou trabalhos em navegação, astronomia, e matemática. Ele propôs os logaritmos "comuns", com base dez, e construiu uma tabela de logaritmos que foi usada até o século 19.















Biografias / Joost Bürgi



Joost Bürgi nasceu em 28 de fevereiro de 1522 em Lichtensteig, na Suíça, e morreu em 31 de janeiro de 1632 em Kassel (agora Alemanha). Foi o homem mais hábil, e o mais famoso que trabalhou com relógios na sua época. Ele também fez instrumentos científicos importantes, notavelmente para o Landgraf de Hesse-Kassel Wilhelm der Weise, que combinou regendo o seu estado com sendo um astrônomo de primeira classe. (Embora os historiadores normalmente não mencionem o fato, as observações de Landgraf, particularmente essas das estrelas fixas, foram em geral pelo menos tão precisas quanto Tycho Brahe).







Depois Bürgi também trabalhou para o Imperador romano Rudolph II, e o sucessor dele Matthias (em Prague). Bürgi se interessou por matemática, e era a ele que Johannes Kepler (1571 -1630), o então Matemático Imperial, estava endividado por sua introdução para a Álgebra. Em troca, parece ter sido Kepler que persuadiu Bürgi a escrever o seu trabalho original e interessante em logaritmos (o manuscrito está em grande parte na letra de Kepler), impresso em 1620. O método de Bürgi é diferente do método de Napier e foi claramente inventado independentemente.







Biografias / Girolamo Cardano







Girolamo CARDANO nasceu em 24 de setembro de 1501 em Pavia, Itália. Morreu no dia 21 de setembro de 1576, em Roma. Cardano foi um físico e matemático italiano, que dedicou-se a Matemática, Física, Astronomia, Filosofia, Medicina e Astrologia.

Na Matemática, sua obra-prima é o livro Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis (A grande arte ou sobre as regras da álgebra), publicado em 1545, onde se encontram:

- o método de resolução das equações de grau 3, obtido de seu amigo Tartaglia (1499 - 1557), e de grau 4, obtido de seu discípulo Lovic Ferrari (1522 - 1565);

- a regra: "menos vezes menos dá mais".





Biografias / Arthur Cayley



Arthur Cayley, nasceu em 16 de agosto de 1821, e morreu em 26 de janeiro de 1895. Foi um matemático inglês que deu grande contribuição ao avanço da matemática pura. Se formando (1842) na Faculdade de Trinity, Cambridge, depois ele entrou em lei e foi admitido (1849) para a barra de Londres. Cayley desenvolveu a teoria da invariância algébrica, e o seu desenvolvimento de geometria não dimensional foi aplicado em física para o estudo da QUANTIDADE CONTÍNUA de ESPAÇO-TEMPO.

O trabalho de Cayley em MATRIZES algébricas serviu como uma fundação para MECÂNICA QUÂNTICA, que foi desenvolvida por Werner Heisenberg em 1925. Cayley também sugeriu que GEOMETRIA EUCLIDIANA e GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA são tipos especiais de geometria. Ele uniu GEOMETRIA PROJETIVA (que é dependente em propriedades invariantes de figuras) e geometria métrica (dependente em tamanhos de ângulos e tamanho de linhas). Os documentos matemáticos de Cayley foram publicados em Cambridge (1889-98).



Biografias / Julius Dedekind



Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma família luterana de Braunschweig, Alemanha. Entrou em Gõttingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seu doutoramento com uma tese sobre Cálculo, elogiada até por Gauss. Foi aluno de Dirichlet e dedicou-se ao ensino secundário em Brunswick até os últimos anos de sua vida.

Preocupado com a natureza das funções e dos números, concentrou-se no problema dos números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo, publicando seu livro mais célebre, "A Continuidade e os Números irracionais ".

Uma de suas grandes dúvidas era sobre o que há na reta geométrica contínua que a distingue dos números racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam concluído que entre dois pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, os números racionais formam um conjunto denso mas não contínuo.

Relendo, Dedekind observou que a essência da continuidade da reta não está ligada à densidade mas à natureza da divisão da reta em duas partes, que chamou classes, através de um único ponto sobre a reta. A essa divisão da reta chamou "schnitt" ou "corte", que passaria a ser o apoio da Análise, pois com essa observação "o segredo da continuidade seria revelado".

Dedekind viu também que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, o que conseguiu ampliando o conjunto dos racionais. Esta conclusão é conhecida por nós como Axioma de Cantor-Dedekind.

Mais uma de suas observações foi sobre o teorema fundamental dos limites, achando que para obter-se uma demonstração rigorosa deste conceito era necessário desenvolve-lo somente através da Aritmética, sem interferência de métodos geométricos embora estes tenham sido responsáveis por seus brilhantes resultados.

Em 1879 foi o primeiro a dar uma definição explícita de corpo numérico como sendo uma coleção de números que formam um grupo abeliano (comutativo) em relação à adição e multiplicação, no qual a multiplicação é distributiva em relação à adição. Este conceito, que foi fundamental para o desenvolvimento da Álgebra, também é responsável pelo teorema dos inteiros algébricos, bem como introduziu na Aritmética o conceito de "ideal".

Dedekind viveu tantos anos depois de sua célebre introdução dos "cortes" que a famosa editora Tebner deu como data de sua morte, 4 de setembro de 1899. Isto divertiu Dedekind que viveu mais doze anos e escreveu ao editor que passara a data em questão em conversa estimulante com seu amigo Georg Cantor.

Julius W. R. Dedekind (1831 - 1916)

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Gelson Iezzi

Atual Editora



Biografias / Diofanto



Diofanto tem o seu nome ligado à cidade que foi o maior centro de atividade matemática na Grécia antiga. Pouco se sabe acerca da sua vida, o desconhecimento impede-nos mesmo de fixar com segurança em que século viveu. Têm sido sugeridas datas distanciadas de um século, antes ou depois do ano 250 d. C. Por uns versos encontrados no seu túmulo, escritos em forma de um enigmático problema, deduz-se que viveu 84 anos. Positivamente, tal problema não deve ser tomado como o paradigma dos problemas sobre os quais se interessou Diofanto pois ele pouca atenção deu a equações do 1º grau.



Alexandria foi sempre um centro muito cosmopolita e a matemática que se originou nela não era toda do mesmo tipo. Os resultados de Heron eram bem diferentes dos de Euclides ou dos de Apolonios ou dos de Arquimedes, e na obra de Diofanto há novamente uma quebra abrupta da tradição clássica grega. Sabido é que os gregos, na época clássica,dividiram a aritmética em dois ramos: a aritmética propriamente dita como "teoria dos números naturais". Frequentemente, tinha mais em comum com a filosofia platónica e pitagórica do que com o que habitualmente se considera como matemática, e logística ou cálculo prático que estabelecida as regras práticas de cálculo que eram úteis à Àstronomia, à Mecânica, etc.



O principal tratado de Diofanto conhecido, e que. ao que parece, só em parte chegou até nós, é a "Arithmetica". Apenas seis dos livros originais em grego sobreviveram, o número total (13) não passa de uma conjectura. Era um tratado caracterizado por um alto grau de habilidade matemática e de engenho, pelo que pode ser comparado aos grandes clássicos da "Primeira idade Alexandrina", ou seja, da "época de ouro" da matemática grega, no entanto, quase nada têm em comum com esses ou, na verdade, com qualquer matemática grega tradicional. Representa essencialmente um novo ramo e usa um método diferente, dai a época em que possívelmente Diofanto viveu se chamar "segunda idade Alexandrina", conhecida por sua vez por "época de prata" da matemática grega.



Diofanto, mais que um cultor da aritemética, e sobretudo da geometria, como o foram os matemáticos gregos anteriores, deve considerar-se um precursor da álgebra, e, em certo sentido, mais vinculado com a matemática dos povos orientais (Babilónia, Índia, ...) que com a dos gregos. A sua "Arithmetica"assemelha-se à álgebra babilónica em muitos aspectos, mas enquanto os matemáticos babilónicos se ocupavam principalmente com soluções " aproximadas" de equações "determinadas" e sobretudo de equações "indeterminadas" do 2º e do 3º graus das formas canónicas, em notação actual, Ax^2+Bx+C =y^2 e Ax^3+Bx^2+Cx+D=y^2, ou conjuntos (sistemas) destas equações. É exactamente, por esta razão - em homenagem a Diofanto -que a esta "Análise indeterminada" se chama " Análise diofantina"ou " Análise diofântica".



No desenvolvimento histórico da álgebra considera-se, em geral, que podem ser reconhecidos três estádios: o primitivo ou retórico, em que tudo era completamente escrito em palavras, um intermédio ou sincopado, em que foram adoptadas algumas abreviaturas e convenções, e um final ou simbólico, em que são usados somente símbolos. A "Arithmetica" de Diofanto deve ser colocada no segundo estádio; nos seus seis livros há um uso sistemático de abreviaturas para potências de números e para relações e operações.



Fonte: Jornal de Mathematica Elementar



Biografias / Copérnico



Matemático e astrônomo polonês, autor da Teoria Heliocêntrica, segundo a qual o sol é o verdadeiro centro do sol é o verdadeiro centro do sistema solar, devendo-se a sucessão de dias e noites, ao movimento da rotação da Terra sobre seu próprio eixo. Copérnico nasceu em Tourun, na Posnâmia (região polonesa as margens do Vístula) na fronteira com a Alemanha, à 19/02/1453, era filho de um comerciante que o deixou órfão, aos 10 anos. Sua tutela ficou à cargo de seu tio Lucius Waczenrade, Bispo de Erimland. E ele cresceu em meio ao período Renascentista, no qual o saber, bem como a cultura avançaram revulucionariamente. Também serviu a Igreja Católica, o que de certa forma foi positivo, pois lhe dava acesso ao saber entesourado da igreja .



Em 1491, ingressou na Universidade de Cracóvia, onde estudou, principalmente, matemática. Depois na Universidade de Bolonha estudou grego e em Pádua Medicina. Em 1500 voltou a Polônia, e já como monge, assumiu as funções de cônego em Frauenburg, exercendo a medicina. Como sua verdadeira paixão era a astronomia, teve sua atenção despertada pelo planeta Marte, e de suas observações, veio-lhe as perguntas: - Por que os planetas se tornavam cada vez maiores, mais brilhantes, ao longo de sua trajetória? - Ou cresciam, o que parecia absurdo? - Ou ficavam tão mais perto da Terra? O que certamente, os levava a sair dos epiciclos, onde deveriam permanecer... Diante de suas dúvidas, Copérnico, com sua tranquilidade característica, passou a estudar os pensadores antigos, que ousaram dar um movimento à Terra, e colocar o Sol como centro do Universo. Depois de minuciosos cálculos matemáticos, ele deduziu: A Terra executa um movimento completo em torno de seu eixo. Isso explicaria o movimento do Sol e das Estrelas, produzindo o dia e a noite. Novos cálculos o levaram a atribuir ao Sol o movimento anual, que na verdade é executado pela Terra.

Suas afirmações eram contrárias a Teoria Geocêntrica, que afirmava ser a Terra fixa, e que todos os demais astros, giravam em torno dela. A igreja fundamentava-se na Teoria Geocêntrica, e agia de modo bravio, contra qualquer conceito contrário a esta teoria. A Teoria Geocêntrica, também chamada de Teoria Ptolemaica , por ter sido elaborada por Cláudio Ptolomeu, astrônomo e geógrafo grego do séc. II, dizia que a Terra era imóvel e ao seu redor giravam a Lua, o Sol, os Planetas e as Estrelas. Durante 30 anos, Copérnico, analisando e meditando suas próprias observações, concluiu sua Teoria. Como uma de suas maiores características era ser prudente, de início, apresentou sua teoria como mera hipótese, já que naquela época eram comuns, as condenações por heresia.

Copérnico, era eclesiástico, respeitava e temia as autoridades religiosas, para estas, a teoria de Ptolomeu era mais adequada para confirmar, as citações bíblicas, de modo conveniente para a igreja. Temendo contradizê-la, Copérnico, em 1530, apresentou sua teoria apenas entre os astrônomos, num manuscrito chamado Pequenos comentários de Nicolau Copérnico em torno de suas hipóteses sobre os movimentos celestes. Somente em 1540, permitiu que George Joaquim Rhäticus, seu discípulo, publicasse suas idéias, na obra Narrativa acerca das obras de Copérnico sobre revoluções.



Finalmente em 1543, esse mesmo discípulo, fez circular, em Nuremberg, a obra completa de Copérnico - Sobre a revolução das orbes celestes, onde a Teoria Heliocêntrica, era colocada de forma científica, e não como hipótese. Isto se deu sem o conhecimento de Copérnico, que teve exemplar nas mãos, já pronto, às portas de sua morte, em Frauenburg, à 24/05/1543, mesma data em que veio a falecer. Esta publicação, que tinha prefácio dedicado ao papa Paulo III, fora substituído por outro, anônimo, atribuído a Andreas Osiander, que insistia sobre o carater hipotético do novo sistema.

Só após 20 anos da divulgação da pesquisa de Copérnico, o frade dominicano Giordani Bruno acrescentou a Teoria, a idéia do Universo infinito, levantando novamente a polêmica. Por isso, a Inquisição, o condenou a morte. Justo nessa mesma época, iniciava como professor de Universidade Galileu Galilei, que finalmente fez solidificar a Teoria .

A obra de Copérnico foi comprovada por grandes astrônomos e matemáticos como Galileu, Kepler e Newton, mas até 1835, a Igreja a manteve em sua lista negra. Mas sua obra, considerada valiosa e pioneira lhe garantiu a posição de Pai da Astronomia Moderna.



Biografias / Euclides de Alexandria



Euclides de Alexandria; não se sabe ao certo onde e quando nasceu, mas foi um dos sábios chamados para ensinar na escola criada por Ptolomeu, na Alexandria em 306 A.C., chamada "Museu'. Diz-se que Euclides tinha grande capacidade e habilidade de exposição e algumas lendas o caracterizam como um bondoso velho.

Seus livros são os mais antigos tratados gregos existentes, embora se tenha perdido mais da metade deles. Um dos mais lamentáveis desaparecimentos foi o dos "Porismas de Euclides;' que poderiam conter aproximações da Geometria Analítica e Pappus dá-nos uma noção do que um porisma como algo entre um teorema (em que alguma coisa é proposta para resolver) e um problema (em que alguma coisa é proposta para construir).

Cinco das obras de Euclides sobreviveram. "Óptica" onde, indica seu estudo de perspectiva e desenvolve uma teoria contrária à de Aristóteles, segundo a qual o olho envia os raios que vão até o objeto que vemos.

Em "Os Fenômenos' discorre sobre Geometria esférica para utilização dos astrônomos. 'A Divisão" contém 36 proposições relativas à divisão de configurações planas. "Os Dados" forma um manual de tabelas, servindo como guia de resolução de problemas, com relação entre medidas lineares e angulares num círculo dado.

E finalmente, "Os Elementos", obra que superou a de todos seus contemporâneos, contendo treze capítulos sobre Aritmética, Geometria e Álgebra. Os seis primeiros capítulos são sobre Geometria plana elementar; os três seguintes, sobre Teoria dos Números; o livro X, sobre incomensuráveis e os três últimos, sobre Geometria no espaço. Entre eles os mais admirados são o quinto e o décimo que tratam da teoria das proporções. O primeiro capitulo inicia com vinte e três definições, entre elas, "um ponto é o que não tem parte', "uma reta é um comprimento sem largura ' e "uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura ', que foram melhoradas mais tarde por Platão.

Em "Os Elementos" aparece também o célebre postulado das paralelas ("por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela") e em uma das proposições mostra em termos geométricos o que hoje são as identidades (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e a2 - b2 = (a + b) (a - b). No capítulo VII enuncia regras fundamentais para a Teoria dos Números como o conhecido "Algoritmo de Euclides", para achar o máximo divisor comum entre dois números.

"Os Elementos" data 300 A.C. e foi o texto mais influente de todos os tempos e com maior número de edições publicadas, tão marcante que seus sucessores o chamavam de "o elementador''

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Gelson Iezzi

Atual Editora





Biografias / Euler





Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça, onde seu pai era ministro religioso e possuía alguns conhecimentos matemáticos.

Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física, Línguas orientais e Matemática. Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando a seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se o príncipe matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.

Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.

Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários prêmios em concursos.

Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando á Rússia em 1786.

Euler ocupou-se de quase todos os ramos da matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro e empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra grega p para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para . Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por lx, usou å Para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e análise.

Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a "Introdução à Análise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, Logarítmicas, trigonométricas inversas e exponenciais).

Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos.

Muito interessado no estudo de séries infinitas. obteve notáveis resultados que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um Apêndice de "Introdução'' onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.

Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.

Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros-negros ou ditando para seus filhos.

Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.

Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar



Biografias / Pierre de Fermat





Pierre de Fermat nasceu no dia 17 de agosto de 1601 em Beaumont-de-Lomages, França, e morreu no dia 12 de janeiro de 1665 em Castres, França. Foi advogado e oficial do governo em Toulouse pela maior parte de sua vida. A matemática era o seu passatempo. Em 1636 Fermat propôs um sistema de geometria analítica semelhante aquele que Descartes proporia um ano depois. O trabalho de Fermat estava baseado em uma reconstrução do trabalho de Apollonius, usando a álgebra de Viète. Um trabalho semelhante conduziu Fermat para descobrir métodos similares para diferenciação e integração por máximos e mínimos. Fermat é a mais lembrado pelo seu trabalho em teoria de número, em particular para o Último Teorema de Fermat. Este teorema diz que

xn + yn = zn

não tem nenhuma solução de inteiro (não zero) para x, y e z quando n> 2. Fermat escreveu, na margem da tradução de Bachet de Diofante:



Eu descobri uma prova verdadeiramente notável, que esta margem é muito pequena conter.

É acreditado agora que a "prova" de Fermat estava errada embora é impossível estar completamente certo disso. Foi demonstrada a verdade da afirmação de Fermat em 1993 de junho pelo matemático britânico Andrew Wiles, mas Wiles retirou a reivindicação de ter uma prova, quando problemas surgiram mais tarde em 1993. Em novembro 1994 Wiles reivindicou novamente ter uma prova correta. Fracassado, tentou provar o teorema sobre um período de 300, conduziu à descoberta da teoria comutativa do anel e uma riqueza de outras descobertas matemáticas. Em uma correspondência com Pascal ele fundou a teoria matemática da probabilidade.



Mersenne, um amigo de Fermat que também estava interessado em teoria do número, pertenceu à ordem religiosa do Minims, e a sua cela em Paris era um lugar de encontro freqüente para Fermat, Pascal, Gassendi, e outros.

Fermat não publicou quase nada durante a sua vida, anunciando as suas descobertas em cartas aos amigos. Às vezes ele anotou resultados nas margens dos seus livros. O trabalho dele foi largamente esquecido até que foi redescoberto no meio do século 19.

Bibliografia: Dictionary of Scientific Biography; Biography in Encyclopaedia Britannica; M S Mahoney, The Mathematical Career of Pierre de Fermat (1601-1665) (Princeton, 1994); J Itard, Pierre Fermat, Kurze Mathematiker Biographien 10 (Basel, 1950). H Wussing, Fermat, in H Wussing and W Arnold, Biographien bedeutender Mathematiker (Berlin, 1983).
A reprodução dos coelhos na colónia

Fim do mês n.º Casais adultos Casais jovens Total de casais

1 1 0 1

2 1 0 1

3 1 1 2

4 1 2 3

5 2 3 5

6 3 5 8

7 5 8 13

8 8 13 21

9 13 21 34

10 21 34 55

11 34 55 89

12 55 89 144

13 89 144 233

Leonardo prosseguiu para os cálculos: no primeiro mês, teremos um par de coelhos que se manterá no segundo mês, tendo em consideração que se trata de um casal de coelhos jovens; no terceiro mês de vida darão origem a um novo par, e assim teremos dois pares de coelhos; para o quarto mês só temos um par a reproduzir, o que fará com que obtenhamos no final deste mês, três pares. Em relação ao quinto mês serão dois, os pares de coelhos a reproduzir, o que permite obter cinco pares destes animais no final deste mês. Continuando desta forma, ele mostra que teremos 233 pares de coelhos ao fim de um ano de vida do par de coelhos com que partimos. Listando a sucessão 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 na margem dos seus apontamentos, ele observou que cada um dos números a partir do terceiro é obtido pela adição dos dois números antecessores, e assim podemos fazê-lo em ordem a uma infinidade de números de meses.

Esta seqüência é conhecida atualmente como a seqüência ou sucessão de Fibonacci.

Outros livros são Praticae geometricae (1220), contendo uma larga coleção de geometria e trigonometria, Liber quadratorum (1225), no qual aproxima a raiz de um cubo obtendo uma aproximação correta até à nona casa decimal, Mis pratica e geometricae (1220) fornece uma compilação da geometria da época e introduz alguma trigonometria (este último, não sendo dado, por fonte segura, de sua autoria).

Nascido a: 1170 provavelmente em Pisa, Itália

Falecido a: 1250 provavelmente em Pisa, Itália






Biografias / Fourier



Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8 anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigida pelos beneditinos.

Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento, redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789.

Fourier que sempre desejara ser militar, aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular raízes irracionais das equações algébricas, cujo estudo Newton iniciara.

Tendo acompanhado Napoleão no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptologia. Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito.

Voltando à França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando-se precursor da Física-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por empregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome.

Em 1830 morreu Fourier; vítima de um aneurisma cerebral.

Jean B. J. Fourier ( 1768 - 1830)

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Gelson Iezzi

Atual Editora



Biografias / Carl Friedrich Gauss





Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777 - Göttingen 1855).

Matemático, astrônomo e físico alemão, nasceu em Brunswick em 30/04/1777 e faleceu em 23/02/1855 na cidade de Göttingen.

Aprendeu a ler e trabalhar com os números sem a ajuda de ninguém. Quando ainda criança, percebeu mentalmente um erro nas contas do pai, um empreiteiro.

Sua educação superior, bem como a secundária foi, assegurada pelo duque de Brunswick, que se impressionava com as habilidades matemáticas de Gauss.

Um de seus teoremas foi a maior contribuição, na época, que a geometria euclidiana teve em 2200 anos.

Aos 12 anos criticava os fundamentos da geometria da época. Aos 13 já projetava uma geometria não-euclidiana. Aos 16 criou um método utilizado até hoje para determinar os elementos da órbita de um planeta com medidas tomadas da Terra.

Aos 18 anos determinou o método dos mínimos quadrados. Aos 22 determinou as funções elípticas.

Formou-se em 1798 na Universidade de Göttingen.

Suas maiores contribuições foram na Física e principalmente na Matemática.

Formulou a teoria dos erros e também desenvolveu um método geral para as resoluções de equações binomiais.

Estudou óptica, a eletricidade e sobretudo o magnetismo, sobre o qual publicou Teoria geral do magnetismo terrestre (1839).

Muitas de suas obras só foram publicadas postumamente.

Principais obras:

Disquisitiones arithmeticae (1798; Discussões aritméticas): Nessa obra, Gauss estuda as congruências, as formas quadráticas, as convergências das séries etc.

Theoria motus corporum coelestium (1809; Teoria do movimento dos corpos celestes).

Teoria geral do magnetismo terrestre (1839). Texto extraídos das

Enciclopédia Barsa (Encyclopaedia Britannica Editores LTDA.) 1981

Enciclopédia Larousse Cultural 1995.







Biografias / Hiparco





Hiparco, em grego Hipparkhos, astrônomo e matemático do séc. II a.C., nasceu em Nicéia, na Bitínia. Viveu em Alexandria, mas trabalhou sobretudo em Rodes, entre 161 a 126 a.C.

Destacou-se pelo método e rigor de suas observações. Criou instrumentos tecnicamente aperfeiçoados que lhe permitiram elaborar um catálogo de aproximadamente oitenta estrelas. Determinou as coordenadas celestes de cada uma e as dividiu em seis grandezas, de acordo com sua luminosidade. Essa pesquisa foi inspirada pela descoberta (134 a.C.) de uma estrela nova.

Hiparco é um dos cientistas mais representativos da época alexandrina. Inventa um dioptro especial para medir as variações no diâmetro aparente do Sol e da Lua e introduz na Grécia a divisão do círculo em 360º, cada um divisível em 60 minutos de 60 segundos, sistema inventado pelos babilônios. Dividindo o diâmetro do círculo em 120 partes, determina, pelo cálculo, e não simplesmente por aproximações práticas, o valor das cordas com relação às diversas partes do diâmetro.

Empreende uma formulação primitiva da trigonometria; estabelece uma tabela de cordas de modo a facilitar os cálculos astronômicos que exigem recurso aos diversos valores destas e desenvolve um método para a solução dos triângulos esféricos.

No campo da geometria plana, elabora teorema conhecido como o teorema de Ptolomeu.
Carl G. J. Jacobi ( 1804 - 1851 ).

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar



Biografias / Jean Dieudonné



A Matemática do século XX é marcada por grande abstração e preocupação cada vez maior em análise de grandes esquemas.

Em 1939 surge o primeiro volume de uma grande obra chamada "Elementos de Matemática" que ainda está em pleno desenvolvimento, tendo sido editado seu trigésimo primeiro volume em 1965 o qual ainda não está completo em sua parte I, "As Estruturas Fundamentais da Análise" com os subtítulos: Teoria dos Conjuntos, Álgebra, Topologia Geral, Funções de Variável Real, Espaços. Vetoriais Topológicos e Integração. Em suas páginas há o nome do autor - "Nicolas Bourbaki" - um francês inexistente com nome grego.

O que se sabe é que em Nancy, cidade onde nasceram vários dos grandes matemáticos, há uma estátua do pitoresco General Charles Denis Sauter Bourbaki a quem em 1862 foi oferecido o trono da Grécia que ele rejeitou e que foi participante notável da guerra franco-prussiana. Entretanto, Nicolas Bourbaki nem mesmo foi parente distante deste general, dando a entender que esse nome foi tomado simplesmente para designar um grupo de matemáticos, quase todos franceses, que formam uma espécie de sociedade secreta, da qual André Weil e Jean Dieudonné são dois dos mais importantes líderes.

André Weil nasceu em 1906 participou de Universidade de Chicago e mais atualmente do Instituto de Estudos Avançados, em Princeton.

Jean Dieudonné nasceu também em 1906 e após a segunda guerra lançou sua obra "Novos Desenvolvimentos em Matemática" com idéias radicalmente novas, anunciando uma nova era. Participou da Universidade de Nancy, depois da Universidade de Paris e mais atualmente da Northwestern University.

Os trabalhos de Bourbaki caracterizam-se por uma adesão completa ao tratamento axiomático, por uma forma totalmente abstrata e geral, retratando uma estrutura lógica. Estas idéias são responsáveis pelas mudanças na Matemática em nível elementar e secundário, movimento conhecido como "Matemática Moderna".

Weil, concordando com Hilbert, olha para os problemas a serem resolvidos como sinal seguro de que a Matemática continuará progredindo. Sobre o futuro ele diz: "O grande matemático do futuro, como o do passado, fugirá dos caminhos batidos. É através de idéias inesperadas, a que nossa imaginação não saberia chegar, que ele os resolverá

Jean Dieudonné ( 1906 - )

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Gelson Iezzi

Atual Editora





Biografias / Colin Maclaurin



Colin Maclaurin nasceu em fevereiro de 1698 em Kilmodan, Escócia, e morreu no dia 14 de junho de 1746 em Edinburgh, Escócia . Nasceu em Kilmodan onde o seu pai era o ministro da paróquia. A aldeia (população 387 em 1904) está no rio Ruel e a igreja está em Glendauel. Ele foi um estudante em Glasgow. Ele se tornou professor de matemática na Faculdade de Marischal, Aberdeen, de 1717 a 1725 e então na Universidade de Edinburgh de 1725 até 1745.

Ele fez um trabalho notável em geometria, particularmente estudando curvas planas. Ele escreveu uma memória importante na chamada teoria das marés.



Maclaurin foi eleito um membro da Sociedade Real em 1719 e em 1724 foi premiado pela Academia de Ciências pelo seu trabalho no impacto de corpos. Em 1740 ele foi premiado com outro prêmio da Academia de Ciências pelo estudo das marés. Este prêmio foi dado juntamente a Maclaurin, Euler e Daniel Bernoulli.







O primeiro trabalho importante de Maclaurin foi a Geometrica Organica... publicado em 1720.



Em 1742 ele publicou o seu Tratado de 2 volumes, a primeira exposição sistemática dos métodos de Newton escrita como uma resposta ao ataque de Berkeley no cálculo para sua falta de fundamentos rigorosos. Esse Tratado é um trabalho principal de 763 páginas, muito louvado por aqueles que o leram, mas surpreendentemente de pequena influência.



Maclaurin apelou aos métodos geométricos dos gregos antigos e para método de Arquimedes da exaustão. No seu Tratado, Maclaurin usa o caso especial da série de Taylor, nomeada agora depois dele (reconhecendo Taylor). Maclaurin também deu o teste integral para a convergência de uma série infinita. Ele investiga em seu Tratado a atração mútua de dois elipsóides de revolução como uma aplicação dos métodos.



Maclaurin representou um papel ativo na defesa de Edinburgh durante a rebelião de Jacobite em 1745. Quando a cidade caiu Maclaurin fugiu para York e ele morreu no ano seguinte em Edinburgh.



O Tratado de Maclaurin em álgebra foi publicado em 1748, dois anos depois da sua morte. Outro trabalho informando das descobertas do Sr. Isaac Newton permaneceu incompleto na sua morte mas foi publicado mais tarde.









Biografias / Andrei Markov



Andrei Andreyevich Markov nasceu no dia 14 de junho de 1856 em Ryazan, na Rússia. Morreu no dia 20 de julho de 1922 em Petrograd (agora St Petersburg), Rússia. Se formou na universidade de St Petersburg (1878), onde se tornou professor em 1886. Os primeiros trabalhos de Markov foram principalmente em teoria dos números e análise, frações contínuas, limites de integrais, teoria da aproximação e a convergência de séries.



Após 1900 Markov aplicou o método das frações contínuas, inicialmente desenvolvido por Pafnuty Chebyshev, na teoria da probabilidade. Ele também estudou sequências de variáveis mutuamente independentes, esperando estabelecer as leis da probabilidade de forma mais geral. Ele também provou o teorema do limite central.



Markov é particularmente lembrado pelo seu estudo de cadeias de Markov. Cadeias de Markov são um formalismo de modelagem de sistemas que descrevem o sistema como um processo estocástico. Deste ponto de vista o sistema modelado é caracterizado pelos seus estados e a forma pela qual eles se alternam..



Em 1923 Norbert Winter se tornou o primeiro a tratar rigorosamente um processo contínuo de Markov. A fundação da teoria geral ocorreu em 1930 por Andrei Kolmogorov.



Markov teve um filho (de mesmo nome) que nasceu em 9 de Setembro de 1903, que seguiu seu pai e também se tornou um renomado matemático.



Biografias / Abraham de Moivre





Abraham de Moivre nasceu no dia 26 de maio de 1667 em Vitry (próximo a Paris), France, e morreu no dia 27 de novembro de 1754 em Londres, Inglaterra. Depois de passar cinco anos em uma academia protestante em Sedan, Moivre estudou lógica em Saumur de 1682 até as 1684. Ele foi então para Paris, estudando no Collège de Harcourt, e tendo aulas particulares de matemática com Ozanam.

Um protestante francês, Moivre emigrou para a Inglaterra em 1685 seguindo a revogação do Édito de Nantes e a expulsão de Huguenots. Ele se tornou tutor particular de matemática e esperou por uma cadeira de matemática, mas não conseguiu, visto que os estrangeiros estavam em desvantagem. Em 1697 ele foi eleito um membro da Sociedade Real.

Em 1710 Moivre foi designado à Comissão montada pela Sociedade Real para revisar as reivindicações rivais de Newton e Leibniz de quem seria o descobridor do cálculo. Sua nomeação para esta Comissão foi devido à sua amizade com Newton. A Sociedade Real soube a resposta que queria!

Moivre abriu caminho para o desenvolvimento da geometria analítica e a teoria de probabilidade. Ele publicou A Doutrina de Chance em 1718. A definição de independência estatística aparece neste livro junto com muitos problemas com dados e outros jogos. Ele também investigou estatísticas de mortalidade e a fundação da teoria de anuidades.

Em Miscellanea Analytica (1730) aparece a fórmula de Stirling (injustamente atribuida a Stirling) que Moivre usou em 1733 para derivar a curva normal como uma aproximação para a binomial. Na segunda edição do livro em 1738, Moivre dá crédito a Stirling por uma melhoria para a fórmula.

Moivre é lembrado também pela sua fórmula para (cos x + i sin x)n que levou trigonometria em análise.

Apesar da eminência científica de Moivre, a sua renda principal estava no ensino da matemática e ele morreu na pobreza. Ele, como Cardan, é afamado por predizer o dia da própria morte. Ele achou que ele estava dormindo 15 minutos a mais cada noite e somando a progressão aritmética, calculou que ele morreria no dia que ele dormisse durante 24 horas. Ele estava certo!

Bibliografia : somatematica.com.br
Em 1654, com habilidade excepcional no esclarecimento de conceitos, tornou-se responsável, com Fermat e outros, pelo desenvolvimento dos métodos intuitivos ou "indução matemática'' .

A 23 de novembro de 1654 Pascal abandona a Matemática e Ciência, dedicando-se inteiramente à Teologia sobre qual escreveu a obra "Cartas Provinciais'' e "Pensamentos".

Mas, numa noite de 1658, impedido de dormir por uma dor de dentes ou mal-estar e, para distrair-se, começou a estudar as ciclóides, achando volumes, áreas e centros de gravidade. A dor passou milagrosamente e Pascal tomou isso sinal de aprovação de Deus ao seu estudo da Matemática. Esta foi a última noticia que se tem da obra deste matemático extremamente religioso.

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar







Biografias / Peano



Peano nasceu no dia 27 de agosto de 1858 em Cuneo, Piemont, Itália, e morreu em 20 de abril de 1932 em Turin, Itália. Foi o fundador da lógica simbólica e o centro de seus interesses foram os fundamentos da matemática e o desenvolvimento de uma linguagem lógica formal.



Peano estudou matemática na Universidade de Turin e se uniu ao de pessoal lá em 1880, sendo designado a uma cadeira em 1890. Em 1889 Peano publicou os seus axiomas famosos, chamados axiomas de Peano, que definiram os números naturais em termos de conjuntos. Em 1891 ele fundou a Rivista di matematica, um diário dedicado principalmente a lógica e aos fundamentos da matemática.



Em 1886 Peano provou que se f(x,y) é contínua então a equação diferencial de primeira ordem dy/dx=f(x,y) tem uma solução. A existência de soluções com fortes hipóteses em f tinha sido mais cedo determinada por Cauchy e então Lipschitz. Quatro anos depois Peano mostrou que as soluções não eram únicas, dando como um exemplo a equação diferencial dy/dx=3y, com y(0)=0.



Peano introduziu os elementos básicos de cálculo geométrico e deu definições novas para o tamanho de um arco e para a área de uma superfície encurvada. Ele inventou as curvas 'space-filling' em 1890, estas são cartografias de [0,1] sobre a unidade quadrado. Hilbert, em 1891, descreveu similarmente curvas 'space-filling'.



Ele produziu uma definição axiomática do sistema de número natural e mostrou como o sistema de número real pode ser derivado destes postulados.



Peano estava também interessado em linguagens universais, ou internacionais, e criou a linguagem artificial Interlingua em 1903. Ele compilou o vocabulário levando palavras de inglês, francês, alemão e latim. Foi desenvolvido mais adiante por Alexander Gode. Porém, Peano considerou o seu trabalho em análise matemática ser de grande significado.



Embora Peano seja um fundador de lógica matemática, o filósofo e matemático alemão Gottlob Frege (1848-1925) é considerado o pai de lógica matemática.



Biografias / Pierre Laplace



Pierre-Simon de Laplace francês, de descendência humilde, estudou na Academia Militar por influência de amigos.

Sem grandes convicções políticas, pouco participou de atividades revolucionárias embora tenha sido nomeado por Napoleão para o cargo de Ministro do Interior do qual foi despojado logo mais pois, como dizia o próprio Napoleão, "ele transportava o espírito do infinitamente pequeno à direção dos negócios de sua pasta". Mesmo assim, acabada a Revolução Francesa, recebeu o título de marquês e em suas obras procurava sempre incluir elogios fervorosos ao grupo que estivesse no poder, procurando assim fazer as pazes com cada regime que aparecesse.

Laplace foi professor na Escola Normal e na Escola Politécnica, participando também do Comitê de Pesos e Medidas.

Seus principais resultados foram em Teoria das Probabilidades, publicando uma obra admirável que é a "Teoria Analítica das Probabilidades" em 1812, onde mostra ter conhecimentos avançados de Análise.

Em "Ensaio filosófico das probabilidades" escreveu que "no fundo a Teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números".

Em "Teoria Analítica" encontramos entre outros resultados, o cálculo de p através dos problemas das agulhas de Buffon, esquecido há muitos anos, e um estudo da probabilidade inversa iniciado por Bayes.

Em "Exposição do Sistema do Mundo", de 1796, e em "Mecânica Celeste", de 1799, apresentou sua hipótese de que o sistema solar se originou de um gás incandescente girando em torno de um eixo que, ao esfriar, se contraiu causando rotação cada vez mais rápida até que da camada externa se desprenderam sucessivos anéis que formaram os planetas. O centro restante da massa de gás, em rotação, constituiu o sol. Esta publicação marcou o auge da teoria de Newton, explicando todas as perturbações do sistema solar, sua estabilidade e seu movimento que é secular, não lhe parecendo mais necessário admitir a intervenção divina em certas ocasiões.

Para Laplace a natureza era a essência e a Matemática apenas uma coleção de instrumentos, que ele sabia manejar com muita habilidade sempre mantendo um sentimento de honestidade intelectual com as Ciências.

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Gelson Iezzi

Atual Editora

PLATÃO



Filósofo grego (427 a.C. - 347 a.C.).

Quando o filósofo Sócrates foi condenado à morte, em 399 a. C., pelo governo de Atenas (sob a acusação de "perverter a juventude" com seus ensinamentos filosóficos), Platão, que era seu discípulo, preferiu deixar a cidade. Passou então alguns anos percorrendo outras partes do mundo grego, desde o norte da África até a Itália, e nessas andanças tomou contato com os ensinamentos pitagóricos.

Com 40 anos, retornou a Atenas e dedicou-se inteiramente à filosofia, fundando uma escola chamada "Academia".

Sua obra filosófica está escrita em forma de diálogos. É nela, inclusive, que estão contidas as idéias de Sócrates (que deixou escritos).

Segundo Platão, os sentidos físicos não nos revelam a verdadeira natureza das coisas. Por exemplo, ao observamos algo branco ou belo, jamais chegaremos a ver a brancura ou a beleza plenas, embora tragamos, dentro de nós, uma idéia do que elas são. Assim, as únicas coisas de fato permanentes e verdadeiras seriam as idéias. O mundo físico, por sua vez, não passaria de uma cópia imperfeita e mutável delas. Observar o mundo físico (tal como a ciência faz hoje em dia) pouco serviria, portanto, para alcançarmos uma compreensão da realidade, embora servisse para reconhecermos, ou recordamos, as idéias perfeitas que traríamos dentro de nós.

O filósofo reconhecia na Matemática a importância de permitir realizar abstrações, aproximando-se assim do mundo perfeito das idéias. Talvez por isso tenha sido atribuído a ele o conceito dos cinco poliedros "perfeitos" (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, também conhecidos como poliedros de Platão), na verdade descritos por Pitágoras mais de cem anos antes. Esses sólidos geométricos expressariam, em suas formas regulares, a perfeição do mundo ideal.

Os corpos celestes, por sua vez, descreveriam circunferências (pois esta seria a curva perfeita) em torno da Terra, mantendo-se em órbita por estarem presos a esferas cristalinas concêntricas.

A Academia, que Platão fundou, se manteve em funcionamento após sua morte, aos 80 anos. Ela só seria fechada oito séculos depois, por ordem do imperador Justiniano. A filosofia platônica, porém, continuaria a ter influência sobre o pensamento da igreja até o século XIII, quando os conceitos de Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.) passariam a ser mais dominantes.

Texto extraído da coleção Aprendendo Física, Editora Scipione, 1996.





Biografias / Pythagoras de Samos





Nascido: aproximadamente 569 aC. em Samos,

Morreu: aproximadamente 475 aC.

Pythagoras de Samos freqüentemente é descrito como o primeiro matemático puro. É uma figura extremamente importante no desenvolvimento da matemática e ainda hoje sabemos relativamente pouco sobre suas realizações matemáticas. Diferente ocorreu mais tarde com os matemáticos Gregos, onde pelo menos temos alguns livros que eles escreveram, não temos nada de escritos de Pythagoras. A sociedade que ele dirigiu, meio religiosa e meio científica, seguiu um código de segredo que certamente significa que Pythagoras é uma figura misteriosa.

Temos detalhes da vida do Pythagoras de biografias prévias que usam fontes originais importantes e são escritos por autores que atribuem poderes divinos a ele. O que nós apresentamos abaixo é uma tentativa de coletar junto a fontes de confiança e reconstruir uma parte da vida do Pythagoras.Alguns historiadores tratam todas estas informações como lendas mas, mesmo que o leitor as trate desta maneira, é certo que é de importância histórica. O pai do Pythagoras era Mnesarchus, enquanto sua mãe era Pythais nativa de Samos. O Mnesarchus era comerciante que veio de Tyre, de onde trouxe milho a Samos num tempo de fome. Lhe foi concedido cidadania de Samos como uma marca de gratidão. Pythagoras quando criança teve seus anos de infância em Samos mas viajava muito com seu pai. Há informes de Mnesarchus Ter retornado a Tyre com Pythagoras onde este foi educado pelos Chaldaeans e pelos mestres da Syria. Parece que ele também visitou a Itália com seu pai. Pouco se sabe da infância do Pythagoras. Todos os fatos de sua aparência física são possíveis de ser fictício, exceto a descrição de uma marca de nascimento que Pythagoras teve na sua coxa. É provável que teve dois irmãos embora algumas fontes dizem que teve três. Certamente ele foi bem educado, aprendeu a jogar o lyre, aprendeu poesia e a recitá-las. Havia, entre seus professores, três filósofos que influenciaram Pythagoras enquanto rapaz. Um dos mais importantes era Pherekydes que muitos descrevem como o professor de Pythagoras. Os outros dois filósofos que influenciaram Pythagoras, e lhe introduziram as idéias matemáticas, eram Thales e seu pupilo Anaximander que viviam em Miletus. É dito que Pythagoras visitou Thales em Miletus quando tinha entre 18 e 20 anos . Desta vez Thales era um homem velho e, embora criasse uma forte impressão em Pythagoras, ele provavelmente não ensinou-o muito. Entretanto contribuiu o interesse de Pythagoras na matemática e astronomia, e o aconselhou a viajar para o Egito para aprender mais destes assuntos. O pupilo de Thales, Anaximander, conferenciava em Miletus e Pythagoras assistia estas conferências. O Anaximander certamente era interessado em geometria e cosmologia e várias de suas idéias influenciaria os próprios pareceres do Pythagoras. Pythagoras aproximadamente 535 aC. foi ao Egito. Isto ocorreu alguns anos depois que o tirano Polycrates teve o controle da cidade de Samos. Algumas evidências sugerem que Pythagoras e Polycrates eram amigáveis a princípio e descrevem Pythagoras foi a Egito com uma carta de apresentação escrita por Polycrates. Aliás Polycrates tinha uma aliança com o Egito e havia portanto fortes elos entre Samos e o Egito Durante o período que Pythagoras esteve no Egito sugerem que visitou muitos templos e tomou parte em muitas conversas com os sacerdotes. Pythagoras foi recusado em admissão a todos os templos exceto o de Diospolis onde foi aceito no sacerdócio depois de completar os rituais necessários para admissão. Não é difícil de relacionar muitas das crenças do Pythagoras, umas ele mais tarde imporia a sociedade que ele criaria na Itália. Por exemplo o segredo dos sacerdotes Egípcios, sua recusa em comer feijões, sua recusa em usar panos feitos de peles de animais e a manutenção da pureza. Dizem que Pythagoras aprendeu geometria com os Egípcios mas é possível que ele havia se familiarizado com a geometria, certamente depois de ter estudado com Thales e Anaximander.

Em 525 aC Cambyses , o rei de Pérsia, invade o Egito. O Polycrates abandonou sua aliança com Egito e enviou 40 navios para unir-se a frota persa contra os Egípcio. Depois que Cambyses ganhou a Batalha de Pelusium na Delta do Nilo e ter capturado Heliopolis e Memphis, colaborador Egípcio da resistência, Pythagoras foi tomado como prisioneiro e enviado a Babilônia. Há escritos onde relatam esse fato da seguinte maneira:

... Foi transportado pelos seguidores de Cambyses como um prisioneiro de guerra. O período que ele esteve aí ele alegremente associou-se com os Magos ... e foi instruído em seus rituais sagrados e aprendeu sobre a adoração mística aos deuses. Ele também alcançou o auge da perfeição em aritmética e música e em outras ciências matemáticas ensinadas pelo Babilônios...

Pythagoras aproximadamente 520 aC saiu da Babilônia e retornou a Samos. Polycrates foi morto aproximadamente 522 aC e Cambyses morreu no verão do mesmo ano, podendo ter sido um ato de suicídio ou como resultado de um acidente. Estas mortes podem ter sido um fator para o retorno de Pythagoras a Samos mas em parte alguma aparece explicação de como Pythagoras obteve sua liberdade. Darius da Pérsia tinha tomado o controle de Samos depois que Polycrates morreu e ele teria controlado a ilha na época do retorno do Pythagoras. Pythagoras fez uma viagem curta a Croton depois de seu retorno a Samos para lá estudar o sistema de leis No litoral em Samos ele fundou uma escola que foi chamada o semicircle. Existem escritos um artigo a esse respeito:-

... Formou-se uma escola na cidade [de Samos], o 'semicircle' de Pythagoras, que se iniciará regularmente hoje, onde seguramente haverá reuniões políticas. Fazem isto porque pensam em discutir perguntas sobre bondade, justiça. Foi fundada pelo homem em que fez destes assuntos sua vida. Fora da cidade ele fez em uma caverna o local privado para ensinar filosofia, ficando a maioria das noites e dias aí para pesquisar e fazer uso de matemática...

Pythagoras saiu de Samos e foi a Itália do sul aproximadamente 518 aC (algum dizem ter sido mais cedo).

... Tentou usar seu método simbólico de ensinar que era semelhante às lições que ele tinha aprendido no Egito. O Samians ( cidadãos de Samos ) não estavam muito satisfeitos com este método e o tratou de uma maneira imprópria...

... Pythagoras foi arrastado em todos tipos de missões diplomáticas pelos cidadãos e companheiros que o forçaram a participar em negócios públicos. ... Soube que todos os filósofos antes dele tinham acabado seus dias em terra estrangeira então decidiu escapar a toda responsabilidade política.

O Pythagoras fundou uma escola religiosa filosófica em Croton (agora Crotone, no leste da Itália do sul)e teve muitos seguidores. O Pythagoras era a cabeça da sociedade com um círculo fechado de seguidores matemáticos. Os matemáticos viviam permanentemente com a Sociedade, não tinham nenhum tipo de posses pessoais e eram vegetarianos. Foram ensinados por Pythagoras as regras que deveriam ser obedecidas. As crenças que Pythagoras seguiam eram:-

(1) realidade é matemática em natureza,

(2) essa filosofia pode ser usada para purificação espiritual,

(3) que a alma pode levar a união com o divino,

(4) que certos símbolos têm uma importância mística, e

(5) Que todos irmãos da ordem devem observar lealdade precisa e segredo.

Tanto homens como mulheres foram permitidos tornar-se membros da Sociedade, aliás vários Pythagoreans mulheres mais tarde tornaram-se filósofos famosos. No círculo externo da Sociedade eles viviam nas próprias casas, só vindo à Sociedade durante o dia. Foram permitidos as próprias posses e não foram obrigados a serem vegetarianos. Do trabalho real de Pythagoras nada se sabe, devido o segredo da escola e o caráter comunitário que faz com que seja muito difícil distinguir entre os trabalhos de Pythagoras e de seus seguidores. Certamente sua escola fez destacadas contribuições a matemática

Primeiro devemos estar claros em perceber que Pythagoras e os matemáticos estavam estudando matemática. Eles não estavam agindo como um grupo de pesquisa de matemática como se faz numa universidade moderna ou outra instituição. Não havia grandes problemas para eles resolverem, e eles não estavam interessados em tentar formular nem resolver problemas matemáticos. Pythagoras estava interessado nos princípios da matemática, o conceito de número, o conceito de um triângulo ou outra figura matemática e a idéia abstrata de uma prova. Os Pythagorean ... tem trazido à tona no estudo da matemática, o pensamento que coisas são números ... e que o cosmos inteiro é uma escala e um número.

Aplica-se esse sentido de generalização e de observações do Pythagoras em música, matemática e astronomia. O Pythagoras notou que barbantes que vibram produzem tons harmoniosos quando as relações dos comprimentos das barbantes são números inteiros, e que estas relações podiam ser estendidos a outros instrumentos. Aliás Pythagoras fez contribuições notáveis à teoria matemática da música. O Pythagoras estudou propriedades de números que seriam familiar aos matemáticos de hoje, tal como números ímpares regulares, números triangulares, etc

Cada número tem o própria personalidade - masculino ou feminino, perfeito ou incompleto, lindo ou feio. Este sentimento a matemática moderna ponderadamente eliminou, mas nós ainda achamos algumas colorações em ficções e poesia. Dez era o melhor número: conteve em si os primeiros quatro números inteiros - um, dois, três, e quatro [1+2+3+4 = 10]

Naturalmente hoje nós particularmente lembramo-nos de Pythagoras pelo seu famoso teorema de geometria. Quanto ao teorema de Pythagoras agora sabemos, era conhecido pelos Babilônios 1000 anos antes. O Proclus, o último filósofo Grego importante, que viveu por volta de 450 aC escreveu:

O Pythagoras transformou o estudo de geometria numa educação liberal, examinar os princípios da ciência desde o início e investigar o teoremas numa maneira intelectualmente espiritual: ele descobriu a teoria do irracional e a construção das figuras cósmicas.

O teorema atribuído a Pythagoras, ou geralmente ao Pythagoreans.

I. A soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos direitos ( retos ) .

Teorema de Pythagoras - para um triângulo direito ( reto ) o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados nos outros dois lados. Devemos anotar aqui que para Pythagoras o quadrado na hipotenusa certamente não seria como um número multiplicado por si mesmo, mas sim como um quadrado geométrico construído no lado. Dizer que a soma de dois quadrados é igual a um terceiro quadrado queria dizer que os dois de seção retangular para cima formam um quadrado idêntico ao terceiro quadrado.

A descoberta do irracional. Isto certamente é atribuído ao Pythagoreans mas parece um desencontro ter sido devido a eles. Isto foi contra a filosofia do Pythagoras pois todas as coisas são números, desde que por um número o que ele quer dizer é a relação de dois números inteiros. Entretanto, por causa de sua crença que todas coisas são números seria uma tarefa natural tentar provar que o hipotenusa de um isósceles triângulo direito ( reto ) tem um comprimento correspondente a um número.

Os cinco sólidos regular. Pensou-se que Pythagoras soube construir os primeiros três mas é possível que tenha construído os outros dois.

Pythagoras ensinou na astronomia que a Terra era uma esfera no centro do Universo. Ele também reconheceu que a órbita da Lua era inclinada ao equador da Terra.

A Sociedade do Pythagoras em Croton era afetada por acontecimentos políticos apesar de seu desejo de permanecer fora desse segmento. Pythagoras foi a Delos em 513 aC cuidar de Pherekydes seu velho e amigo professor que estava moribundo. Permaneceu aí por alguns meses até a morte do amigo então retou a Croton. Em 510 aC Croton atacou e derrotou Sybaris seu vizinho e há certamente algumas sugestões que Pythagoras esteve envolvido na disputa. Então por volta de 508 aC a Sociedade de Pythagorean em Croton foi atacada por Cylon, um nobre de Croton. Pythagoras escapou para Metapontium e alguns autores dizem que morreu aí, alguns relatam que ele cometeu suicídio.

O Cylon, um Crotoniano e cidadão privilegiado por nascimento, fama e dinheiro, mas um tirano perturbador, violento e de disposição difícil , avidamente desejou participar do meio dos Pythagorean . Aproximou-se de Pythagoras, então um homem velho, mas foi rejeitado por causa do caráter acima descrito. Quando Cylon soube de sua recusa ele e seus amigos juraram fazer um grande ataque a Pythagoras e seus seguidores. Assim um ódio ativou Cylon e seus seguidores a perseguir os Pythagoreans . Esta é a causa da fuga de Pythagoras para Metapontium ..

Isto parece ser o mais acertado mais alguns não aceitam esta versão e argumentam que o ataque por Cylon era um negócio menor. Certamente a Sociedade de Pythagorean prosperou durante muitos anos a extensão de Croton e em muitas outras cidades Italianas. Alguns argumentam que isto é uma razão forte para acreditar que Pythagoras retornasse a Croton e citam outra evidência como a idade avançada de Pythagoras ao redor de 100 anos no tempo de sua morte

A evidência é incerta como , quando e onde a morte de Pythagoras ocorreu. Certamente a Sociedade de Pythagorean expandiu rapidamente depois que de 500 aC, tornou-se política em natureza e também surgiu um grande número de facções




Essas informações foram retiradas da Catholic Encyclopedia





Biografias / Tales





Tales de Mileto é descrito em algumas lendas como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista da visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida.

As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas idéias.

Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 A.C. conseguiu predizer o eclipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apoiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu,. pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.

Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de "primeiro matemático'' verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva.

Acredita-se que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como "Teorema de Tales" segundo o qual um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto.

A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um circulo é bissectado por um diâmetro'', "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então, eles são congruentes".

Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual á sua altura".

Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas idéias, chamado "Escola Jániá'' e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descobertas matemáticas especificas e, como disse Aristóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos''.

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar